Свойства прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора. Площадь прямоугольного треугольника. | Самостоятельная учеба. САМ | Яндекс Дзен

Знак треугольника в первом веке ввёл в обиход древнегреческий философ и учёный Герон. Его свойства изучали Платон и Евклид.

Содержание

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

a b c

c^2 = a^2 + b^2

  • c — гипотенуза
  • a — катет
  • b — катет
Как посчитать сторону прямоугольного треугольника

Гипотенуза:

c = sqrt{a^2 + b^2}

Катеты:

a = sqrt{c^2 — b^2}

b = sqrt{c^2 — a^2}

Проверочные числа

Часто используют удобный приём магии чисел 3 4 5

Так, если взять треугольник с соотношением сторон 3 : 4 : 5

3 4 5

то этот треугольник будет прямоугольным. Доказывается это просто.

Если теорема Пифагора верна:

a^2 + b^2 = c^2

, то размеры такого треугольника подходят к теореме Пифагора:

3^2 + 4^2 = 5^2

9 + 16 = 25

Значит треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным.

Похожие калькуляторы:

Теорема Пифагора

Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Или квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Свойства прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора. Площадь прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется египетским треугольником. Применяется для построения прямых углов на земной поверхности.

Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства. Задачи и решения

Определение 1. Прямоугольный треугольник − это треугольник, один из углов которого прямой (т.е. 90°).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c (Рис.1)). Другие стороны, т.е. стороны, прилегающие к прямому углу (стороны a и b) называются катетами.

ШПОРА ПО ПРЯМОУГОЛЬНОМУ ТРЕУГОЛЬНИКУ (и кое-что об окружностях!)

Прямоугольный треугольник треугольник, у которого один из углов – прямой (= ( displaystyle {{90}^{circ }})).

  • ( displaystyle a,text{ }b) — катеты
  • ( displaystyle c) — гипотенуза
  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: ( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  • по двум катетам: ( displaystyle a={{a}_{1}}, b={{b}_{1}})
  • по катету и гипотенузе: ( displaystyle a={{a}_{1}}, c={{c}_{1}}) или ( displaystyle b={{b}_{1}}, c={{c}_{1}})
  • по катету и прилежащему острому углу: ( displaystyle a={{a}_{1}},) ( displaystyle angle beta =angle {{beta }_{1}}) или ( displaystyle b={{b}_{1}},) ( displaystyle angle alpha = angle {{alpha }_{1}})
  • по катету и противолежащему острому углу: ( displaystyle a={{a}_{1}},) ( displaystyle angle alpha = angle {{alpha }_{1}}) или ( displaystyle b={{b}_{1}},) ( displaystyle angle beta =angle {{beta }_{1}})
  • по гипотенузе и остром углу: ( displaystyle c={{c}_{1}},) ( displaystyle angle alpha = angle {{alpha }_{1}}) или ( displaystyle c={{c}_{1}},) ( displaystyle angle beta =angle {{beta }_{1}}).

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

  • одному острому углу: ( displaystyle alpha = {{alpha }_{1}}) или ( displaystyle angle beta =angle {{beta }_{1}})
  • из пропорциональности двух катетов: ( displaystyle frac{a}{{{a}_{1}}}=frac{b}{{{b}_{1}}})
  • из пропорциональности катета и гипотенузы: ( displaystyle frac{a}{{{a}_{1}}}=frac{c}{{{c}_{1}}}) или ( displaystyle frac{b}{{{b}_{1}}}=frac{c}{{{c}_{1}}}).

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: ( displaystyle sin alpha =frac{a}{c}, sin beta =frac{b}{c})
  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: ( displaystyle cos alpha =frac{b}{c}, cos beta =frac{a}{c})
  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: ( displaystyle tgalpha =frac{a}{b}, tgbeta =frac{b}{a})
  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: ( displaystyle ctgalpha =frac{b}{a}, ctgbeta =frac{a}{b}).

Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника.

Каждый из этих треугольников подобен исходному: ( displaystyle Delta BECsim Delta AECsim Delta ABC)

Высота прямоугольного треугольника: ( displaystyle h=frac{ab}{c}) или ( displaystyle h=sqrt{BEcdot EA}).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: ( displaystyle m=frac{c}{2}).

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы (точка О).
  • Радиус описанной окружности: ( displaystyle R=frac{c}{2}={{m}_{c}}).

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

( displaystyle begin{array}{l}r=frac{ab}{a+b+c}\r=frac{1}{2}left( a+b-c right)end{array})

Площадь прямоугольного треугольника:

  • через катеты: ( displaystyle {{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}ab)
  • через катет и острый угол: ( displaystyle {{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}tgbeta =frac{1}{2}{{a}^{2}}ctgalpha ).

См. также

  • Гипотенуза
  • Треугольник
  • Тригонометрия

См. также

  • Гипотенуза
  • Треугольник
  • Тригонометрия

Видео: Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия (1 час 58 минут)

Бери бумагу и ручку, ставь видео на паузу и решай вместе с Алексеем и ты разберешься в этой теме очень глубоко.

Это видео — один из вебинаров нашей Программы подготовки к профильному ЕГЭ по математике.  Вся программа — это: 

  • 3 вебинара в неделю c Алексеем Шевчуком до самой даты экзамена;
  • проверка домашних работ по каждому вебинару;
  • майский марафон “Год за месяц”, где мы повторим все темы ЕГЭ, то есть “упакуем” ваши знания, чтобы получить максимум на ЕГЭ.

Типы прямоугольных треугольников

  • Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются натуральными числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Действительно. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, то сумма остальных углов равен 90°.

Свойство 2. Если катет прямоугольного треугольника лежит напротив угла в 30°, то он равен половине гипотенузы.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACB, у которого угол C прямой, а угол ∠ABC=30°. Приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник как показано на Рис.2.

Рассмотрим треугольник ADB. Так как ∠A=∠D=∠ABD=60°, то треугольник ABD равносторонний. Следовательно AB=AD=BD. Тогда . Конец доказательства.

Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против данного катета равен 30°.

Доказательство. Пусть у прямоугольного треугольника катет AC равен половине гипотенузы AB. Аналогично вышеизложенному приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник BCD(Рис.2). Получим равносторонний треугольник, где AB=AD=BD. Тогда ∠A=∠D=∠ABD=60°. Но ∠ABD=2∠ABС. Следовательно . Конец доказательства.

Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это симметричный многоугольник, сумма двух углов которого равняется 90 градусов. Так как общая сумма всех трёх углов составляет 180 градусов, то соответственно третий угол равен 90 градусам. Стороны, образующие его, называют катетами, а оставшийся отрезок гипотенузой.

К основным свойствам фигуры относят следующее:

Свойства прямоугольного треугольника
  • гипотенуза многоугольника всегда больше любого из его катетов;
  • сторона, располагающаяся напротив угла в 30 градусов, составляет половину гипотенузы;
  • два катета являются высотами треугольника;
  • середина окружности, описанная вокруг фигуры, совпадает с гипотенузой, при этом медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу, одинаковая с радиусом круга;
  • численное значение гипотенузы, возведённое в квадрат, равно сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

Эти основные признаки при решении геометрических задач помогают определить класс треугольника и рассчитать его величины. Большое значение при этом имеет вычисление значений катетов.

Так, если известна гипотенуза, то найти катеты, зная угол, не составит труда. Определив же длину катетов, вычислить оставшуюся сторону можно по теореме Пифагора. Периметр фигуры определяют сложением двух катетов и гипотенузы, а площадь находят перемножением катетов и делением полученного ответа на два.

Как вычислить угол треугольника

Зная катеты, довольно просто вычислить угол. Нужно всего лишь запомнить, что соотношение сторон между собой равно тангенсу противолежащего угла и котангенсу, находящемуся рядом. При этом, зная любой из углов, найти второй можно простым вычитанием известного значения из девяноста. Высота же у прямоугольника равна косинусу прилежащего угла.

Формула для нахождения биссектрисы и медианы довольно сложная. Для нахождения первой величины используют преобразование радикала из суммы квадратов катетов к двум, а второй — подстановку радикала вместо стороны, лежащей напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника

  • Можно найти зная два катета.
  • Через гипотенузу и высоту проведенную к гипотенузе.

Понравилась статья? Если да, то подписывайся на мой канал. Если нет, то напиши почему, мне важно твое мнение!

Примечания

modif.png

Эта страница в последний раз была отредактирована 19 марта 2021 в 12:41.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Действительно. Пусть , (Рис.3). Поскольку , то по первому признаку равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

2. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Действительно. Так как , , (Рис.4), то из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

3. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Теорема 1. Если гипотенуза и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть и (Рис.5). Так как данные треугольники прямоугольные, то имеет место также равенство . Тогда из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

4. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Теорема 2. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники и , где , и углы C и C1 прямые (Рис.6).

Поскольку , , , то треугольник можно наложить на треугольник так, чтобы вершина C совместилась с верншиной C1 а стороны CA и CB наложились на лучи C1A1 и C1B1, соответственно (Рис.7).

Так как CB=C1B1, то вершина B совместится с вершиной B1. Покажем, теперь, что вершина A совместится с вершиной A1. Предположим, что они не совместятся. Тогда получим равнобедренный треугольник ABA1, поскольку AB=A1B1. Но в этом случае . Но как мы видим из Рис.7 угол , острый а угол тупой (так как он является смежанным углом к острому углу BAC), что невозможно. Следовательно вершина A совместится с вершиной A1.

Ссылки

  • Calculator for right triangles
  • Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Wentworth, G.A. A Text-Book of Geometry. — Ginn & Co., 1895.
Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...