Изложение: Система счисления — Информатика программирование

Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки…

Содержание

История десятичной системы счисления

Возникновение десятичной системы – это одно из самых важных событий в математике. Неудивительно, что история десятичной системы счисления занимает умы многих ученых. Существует несколько версий возникновения.  Существует версия, что она зародилась в Китае. Есть также предположение, что ее изобрел Аль-Хорезми. Но более распространенная версия состоит в том, что история возникновения десятичной системы началась в Индии. Сначала в этой системе счисления было всего девять цифр, ноль появился гораздо позднее.

история возникновения десятичной системы

Европейцы заимствовали ее у арабов, и назвали арабской. Это неправильное название сохранилось и до сих пор. Как ни странно, но сами арабы называют эти цифры индийскими. Первые записи десятичной системы счисления в Европе найдены в испанских рукописях, которые датируются X веком. Но закрепилась она только в XII. Но эта система счисления была принята очень сложно, первое время ей даже запрещали пользоваться.

Как мы видим, история десятичной системы счисления была очень долгой и непростой. Сейчас же для нас она воспринимается, как должное. Также в нашем обзоре об истории чисел и систем счисления вы узнаете много интересного.

История систем счисления

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д.Числа, цифры… они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысячлет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пятьтысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над нимиарифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, каксейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или несколькихсимволов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принятьназывать цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом «число»?

Первоначальнопонятие отвлечённого числа отсутствовало, число было «привязано» ктем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятиенатурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числаизобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение,как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой вкачестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическаяпотребность ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшееразвитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа -фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем приизложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не егосимвольную запись.

Сегодня, в самомконце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичнуюсистему счисления. А что такое система счисления?

Системасчисления — это способ записи (изображения) чисел.

Различные системысчисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящеевремя, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершеннымиявляются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которыхвклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) впоследовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычнаядесятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначаетколичество десятков и «вносит» в величину числа 30, а в числе 304 таже цифра 3 обозначает количество сотен и «вносит» в величину числа300.

Системы счисления,в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места взаписи числа, называются непозиционными.

Позиционныесистемы счисления — результат длительного исторического развития непозиционныхсистем счисления.

История возникновения современной десятичной системы счисления. Индийская нумерация. Десятичная система счисления в Европе. Структура десятичной системы счисления. Системы счисления. Алфавит системы счисления. Взаимодействие различных систем счисления.

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

— 8 —

КФ МГТУ имени Н.Э. Баумана

Реферат

по информатике

на тему

«История развития десятичной системы счисления»

Проверил:

Максимова Е.А.

Калуга 2007

Содержание:

1. История возникновения современной десятичной системы счисления.

2. Роль десятичной системы счисления в ряду других. Взаимодействие

различных систем счисления.

История возникновения современной десятичной системы счисления.

В настоящее время для обычного рядового человека довольно привычно выглядят цифры от 0 до 9, их участие в быту, например на ценниках прилавков магазинов; дети в школах считают карандаши, используя те же цифры, десятичную систему счисления. А ведь образование данной системы длилось веками, уходя своими корнями за нашу эру. Попробуем восстановить основные вехи формирования столь важного для существующего общества изобретения.

Мы называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль арабскими, так как заимствовали их у арабов, но сами арабы называли эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе — “индийским счетом” (хисаб ал-Хинд). Епископ Север Себохт, 662 г. н.э.

Русский перевод из F. Nau. Notes d’astroaonie syrieane. Juornal Asiatiqus, ser. 6, 1910, v. 16, p. 225.

В долине Инда существовала цивилизация, одним из центров которой был город, раскопанный вблизи холмов Мохенджо-Даро. Эта цивилизация, основанная первоначальным населением Индии, была разрушена арийскими племенами (Племенами Русов), пришедшими с Гималаев. Арийские жрецы создали священные книги брахманов “Веды” (“Знания”). К VII—V вв. до н. э. относятся первые индийские письменные математические памятники… Большинство научных трактатов индийцев написаны на санскрите — языке религиозных книг брахманов. Этот язык завоевателей объединял многочисленные народы Индии, говорившие на различных языках.

Индийская нумерация.

Счет целых чисел в Индии с древних арийских времен носил десятичный характер. Санскрит — индоевропейский язык, родственный индоевропейским языкам Европы (для сравнения приведем числительные 1 — эка, 2 — дви, 3 — три). В названиях чисел применялся и аддитивный и субстрактивный принципы; например, 19 можно было назвать и “навадаша”, (девять-десять) и “экауна — вимсати” (без одного двадцать). В отличие от других индоевропейских языков, в санскрите существуют названия для 10″ до п>50.

Начиная с VI в. до н. э., в Индии были широко распространены цифры “брахми”. В пятом столбце той же таблицы изображены цифры брахми, воспроизводящие надписи в пещере Назик. В отличие от цифр карошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. До сотни в обоих случаях применялся чисто аддитивный принцип, а начиная с сотен этот принцип соединялся с мультипликативными: в нумерации брахми последний принцип применялся не только к знаку для 100, но и к знаку для 1000.

Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной нумерации.

Первая известная нам запись с помощью цифр брахми, в которой применяются только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначаются теми же цифрами, что и единицы, относится к VI в. н. э.: это дарственная запись от 595 г. н.э., в которой 346-й год записан цифрами брахми 346. Нуля не было, вместо него на счетной доске оставлялся пустой столбец.

Наряду с цифровой записью в Индии широко применялась словесная система обозначения чисел, этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много синонимов. При этом нуль обозначался словами “пустое”, “небо”, “дыра”; единица — предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка — словами “близнецы”, “глаза”, “ноздри”, “губы”; четверка — словами “океаны”, “стороны света” и т. д.

Применение позиционного принципа в словесной нумерации, в котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а названия разрядов опускаются, зафиксировано еще в V в. Например, число 1021 записывалось словами “Луна — дыра — крылья — Луна”. Одно из названий нуля — “шунья” (пустое) стало впоследствии основным. Когда в VIII в. индийские сиддханты переводили на арабский язык, слово “шунья” перевели арабским словом “сыфр”, имеющим то же значение. Слово “сыфр” при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово Ziffer и наше слово “цифра”, также первоначально означавшее нуль.

Но в это же время на судьбу нумерации значительное влияние оказали математики. В области вычислений требовались более удобные системы счисления, и Ариабхата предложил записывать цифры санскритскими буквами.

Первое достоверное свидетельство о записи нуля относится к 876 г., в настенной надписи из Гвалиора (Индия) имеется число 270.

На основе цифр брахми выработались современные индийские цифры “деванагари” (божественное письмо), применяющиеся в десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные позиционные системы арабов и европейцев.

Первым свидетельством об индийской десятичной позиционной системе являются слова сирийского христианского епископа Севера Себохта, жившего в одном из монастырей в верховьях Евфрата в VII в. В рукописи 662 г. Себохт писал: “Я не стану касаться науки индийцев… их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков”.

Десятичная система счисления в Европе.

В Европу десятичная нумерация проникла из Исламского Востока. Наиболее ранние рукописи на арабском языке, содержащие индийскую позиционную запись чисел, относятся к 9-му столетию нашей эры. Одним из первых в Европе понял преимущества новой нумерации французский церковнослужитель и математик Герберт, который в 999 году стал римским папой под именем Сильвестра II. Новоиспеченный папа попытался провести реформу в преподавании математики и ввести новую систему нумерации. Однако нововведение встретило яростный гнев со стороны инквизиции. Папу обвинили в том, что он «продал душу сарацинским дьяволам». Реформу постарались провалить, и папа-математик вскоре умер. Но и после смерти его не оставили в покое. Несколько столетий ходили слухи, что из мраморного саркофага папы непрерывно сочится серный дым и слышится шорох чертей.

Хотя первые записи арабско-индийскими цифрами встречаются в испанских рукописях еще в 10-м веке, десятичная система начинает закрепляться в Европе только, начиная с 12-го века. Новая нумерация в Европе встретила ожесточенное сопротивление как со стороны официальной схоластической науки того времени, та и со стороны отдельных правительств. Так, например, в 1299 г. во Флоренции купцам было запрещено пользоваться новыми цифрами, в бухгалтерии приказано было либо пользоваться римскими цифрами, либо писать числа словами.

Убежденным сторонником использования арабско-индийской системы счисления в торговой практике был известный итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи), получивший математическое образование в арабских странах. В своем сочинении «Liber abaci» (1202) он писал:

«Девять индусских знаков — суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски «zephirum», можно написать какое угодно число».

Несмотря на кажущуюся простоту, десятичная система содержит глубокую математическую идею. Известный французский математик, физик, астроном Пьер Симон Лаплас по этому поводу писал так:

«Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учёности Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой». В начале 17-го века новая нумерация проникает в Россию, но православная церковь встречает ее в штыки и объявляет новую нумерацию колдовской и безбожной. Закрепилась десятичная нумерация в России только после издания в 1703 году знаменитой «Арифметики» Магницкого, в которой все вычисления в тексте производились исключительно с использованием десятичной системы счисления.

Применима запись чисел в форме:

и наоборот:

Структура десятичной системы счисления.

Основание этой системы счисления p равно десяти. В этой системе счисления используется десять цифр. В настоящее время для обозначения этих цифр используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число в десятичной системе счисления записывается как сумма единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в десять раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как десятые, сотые или тысячные доли единицы.

Рассмотрим пример записи десятичного числа. Для того чтобы показать, что в примере используется именно десятичная система счисления, используем индекс 10. Если же кроме десятичной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то индекс обычно не используется:

A10=247,5610=2*102+4*101+7*100+5*10-1 +6*10-2

=20010+4010+710+0,510+0,0610

Здесь самый старший разряд числа будет называться сотнями. В приведённом примере сотням соответствует цифра 2. Следующий разряд будет называться десятками. В приведённом примере десяткам соответствует цифра 4. Следующий разряд будет называться единицами. В приведённом примере единицам соответствует цифра 7. Десятым долям соответствует цифра 5, а сотым — 6.

Десятичная система счисления, наиболее распространённая система счисления. Основанием Д. с. с. является число 10, которое образует единицу 2-го разряда, единицей 3-го разряда будет 100 = 102, вообще единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единицы предыдущего (полагают, что выбор в качестве основания Д. с. с. числа 10 связан со счётом на пальцах). Д. с. с. основана на позиционном принципе, т. е. в ней один и тот же знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. В связи с этим для записи всех чисел нуждаются в особых символах только первые 10 чисел. Символы эти, обозначаемые знаками 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называются цифрами. Для записи числа определяют, сколько в нём содержится единиц наивысшего разряда; затем в остатке определяют число единиц разряда, на единицу меньшего, и т.д. Полученные цифры записывают рядом: например 4*102 + 7*101 + 3*100 = 473. Действия над числами производятся поразрядно, т. е. отдельно над цифрами каждого разряда; если при этом получаются числа больше 10 (при сложении, умножении), то прибавляют одну или несколько единиц к следующему, более высокому разряду; при делении и вычитании приходится разбивать разряды на более мелкие.

Роль десятичной системы счисления в ряду других. Взаимодействие различных систем счисления.

Счисление (нумерация), способ выражения и обозначения чисел. В системах счисления некоторое число n единиц (например, десять) объединяется в одну единицу 2-го разряда (десяток), то же число единиц 2-го разряда объединяется в единицу 3-го разряда (сотню) и т. д. Число n называют основанием системы счисления, а знаки, употребляемые для обозначения количеств единиц каждого разряда, — цифрами. Наиболее употребительная система счисления — десятичная, с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Происхождение десятичной системы счисления связано с пальцевым счетом. Некоторые народы пользовались пятеричной системой счисления; в Древнем Вавилоне была распространена шестидесятеричная система, следы которой сохранились в делении часа и градуса на 60 мин и минуты на 60 с. В ЭВМ часто применяется двоичная система счисления, в которой каждое число выражается при помощи двух цифр 0 и 1.

Для повседневных вычислений используется десятичная система счисления, предшественницей которой является индусская десятичная система, возникшая примерно в XII-м столетии В современной науке с развитием компьютерной техники на первые роли выдвинулась двоичная система счисления. Ее зачатки наблюдаются у многих народов. Например, у древних египтян широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе удвоения. Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Оказывается, к открытию двоичной системы счисления имели отношение многие математики, в частности, Фибоначчи.

Системы счисления. Алфавит системы счисления.

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами.

Алфавит составляет базу системы счисления. Символы алфавита называют цифрами. Системы счисления различаются алфавитом и правилами образования из базовых цифр остальных чисел. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать: возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин, единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина), простоту оперирования числами.

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Непозиционными системами являются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе.

Примером непозиционной системы счисления является римская система. К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Двоичная система счисления.

Алфавит двоичной системы счисления: {0, 1}

Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Восьмеричная система счисления.

Алфавит восьмеричной системы счисления: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатеричная система счисления.

Алфавит шестнадцатеричной системы счисления: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F}

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).

Перевод чисел в десятичную систему счисления.

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Пример.

а) Перевести 10101101.1012 — «10» с.с.

Здесь и в дальнейшем при одновременном использовании нескольких различных систем счисления основание системы, к которой относится число, будем указывать в виде нижнего индекса.

10101101.1012= 1*2^7+ 0*2^6+ 1*2^5+ 0*2^4+ 1*2^3+ 1*2^2+ 0*2^1+ 1*2^0+ 1*2^-1+ 0*2^-2+ 1*2^-3 = 173.62510

б) Перевести 703.048 — «10» с.с.

703.048 = 7*8^2+ 0*8^1+ 3*8^0+ 0*8^-1+ 4*8^-2 = 451.062510

в) Перевести B2E.416 — «10» с.с.

B2E.416 = 11*16^2+ 2*16^1+ 14*16^0+ 4*16^-1 = 2862.2510

Схема Горнера.

Запишем в одной строке исходное число, а строкой ниже будем получать число в нужной нам системе счисления. Для этого первую цифру перепишем без изменения, а под каждой следующей цифрой будем писать число, полученное сложением этой цифры с произведением слева стоящего числа на основание системы счисления.

На рисунке показано исполнение этого алгоритма для двоичного числа 100111011:

1

1

1

1

1

1

1

2

4

9

19

39

78

157

315

Ответ:1001110112 — 31510

Как видите, эти вычисления легко проделать и устно. Называется этот алгоритм схемой Горнера.

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример. Число 2210 перевести в двоичную систему счисления.

Пример. Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример. Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

— 8 —

Ответ:2210 — 101102

Ответ:57110 — 10738

Ответ:746710 — 1D2B16

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную.

Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Перевести 0.312510 — «8» с.с.

Результат: 0.312510 = 0.248

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример.

Перевести 0.6510 — «2» с.с. Точность 6 знаков.

— 8 —

Результат: 0.6510 — 0.10(1001)2

Перевод неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием.

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример.

Перевести 23.12510 — «2» с.с.

1) Переведем целую часть: 2) Переведем дробную часть:

— 8 —

Таким образом: 2310 = 101112; 0.12510 = 0.0012.

Результат: 23.12510 = 10111.0012.

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби — дробями в любой системе счисления.

Перевод восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму.

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) или четырехразрядным двоичным числом (тетродом), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.

Пример.

а) Перевести 305.48 — «2» с.с.

— 8 —

б) Перевести 7B2.E16 — «2» с.с

— 8 —

Переход от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе

Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями, крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетроду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример.

а) Перевести 1101111001.11012 — «8» с.с.

б) Перевести 11111111011.1001112 — «16» с.с.

Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно.

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрод.

Пример. Перевести 175.248 — «16» с.с.

— 8 —

Двоичная арифметика.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения

Таблица двоичного вычитания

Таблица двоичного умножения

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

0-0=0

1-0=1

1-1=0

10-1=1

0*0=0

0*1=1

1*0=0

1*1=1

Сложение и вычитание двоичных чисел

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Пример. Выполнить сложение двоичных чисел:

а) X=1101, Y=101; б) X=1101, Y=101, Z=111;

— 8 —

Результат 1101+101=10010.

Результат 1101+101+111=11001.

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.

Пример. Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101.

Вычислить X-Y:

— 8 —

Результат 10010 — 101=1101.

Умножение и деление двоичных чисел

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.

Пример. 1001101=?

— 8 —

Результат 1001101=101101.

Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример. 1100.011 : 10.01=?

— 8 —

Результат 1100.011: 10.01=101.1.

Таблица представления чисел в различных позиционных системах счисления

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

А

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

17

10001

21

11

Таким образом, десятичная система счисления за всю свою историю неоднократно преобразовывалась. Сильное воздействие на неё оказали различные исторические события. Захватывая всё большие пространства своего использования, она совершенствовалась различными обществами, в которые попадала, пока, наконец, не достигла общемирового признания. История десятичной системы счисления довольно увлекательна, и её необходимо изучать, как и любую другую историю.

Литература:

С.Б. Гашков. «Системы счисления и их применение».

Л.Н. Беляева. «Системы счисления и признаки делимости».

Русский перевод из F. Nau. Notes d’astroaonie syrieane. Juornal Asiatiqus, ser. 6, 1910, v. 16, p. 225.

4.4. Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры двоичной?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних временсчитали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегдаи не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например,долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

0002.gif

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществперед другими системами:

  • для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями(есть ток нет тока, намагничен не намагничен и т.п.), а не, например,с десятью, как в десятичной;
  • представление информации посредством только двух состояний надежнои помехоустойчиво;
  • возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логическихпреобразований информации;
  • двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы быстрый рост числа разрядов, необходимыхдля записи чисел.

4.1. Что такое система счисления?

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•102 + 5•101 + 7•100 + 7•10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

an-1 qn-1 + an-2 qn-2+ … + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + … + a-m q-m,

где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

0001.gif

4.2. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета [44]:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

  • в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
  • в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
  • в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
  • восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

  • двоичная (используются цифры 0, 1);
  • восьмеричная (используются цифры 0, 1, …, 7);
  • шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, …, 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

10 — я 2 — я 8 — я 16 — я
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 — я 2 — я 8 — я 16 — я
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия дон.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 102, 103,104, 105, 106, 107. Числа в египетской системе счисления записывались каккомбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример.Число 345 древние египтяне записывали так:

image001.jpg

В основе какпалочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принципсложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр,участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисленияк десятичной непозиционной.

4.5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

0003.gif

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответ-ствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например,

0004.gif

См. также

  • Приставки СИ — десятичные приставки.
  • Именные названия степеней тысячи
  • Декатрон

Римская система

Знакомая нам римскаясистема не слишком принципиально отличается от египетской. В ней дляобозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавныелатинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиесяцифрами этой системы счисления.

Число в римскойсистеме счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числаравно:

  1. суммезначений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первоговида);

  2. разностизначений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае отзначения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуютгруппу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимумна один порядок: так, перед L(50) и С(100) из «младших» может стоятьтолько X(10), перед D(500) и M(1000) — только C(100), перед V(5) — только I(1);

  3. суммезначений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группыпервого вида).

Пример 2. Число444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системесчисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группывторого вида).

Пример 3. Число1974 в римской системе счисления будет иметь видMCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видовв формировании числа участвуют отдельные «цифры»).

Сложение в различных системах счисления

Таблицы сложения легкосоставить, используя Правило Счета.

Вычитание в различных системах счисления

Славянская система счисления

Данная система счисления является алфавитной т.е. вместо цифр используются буквы алфавита. Данная система счисленияприменялась нашими предками и была достаточно сложной, т.к. использует в качестве цифр 27 букв.

Большие числа представлялись на основе данных чисел.

Например, тысяча представлялась так

tysacha.gif

Более крупные числа, как, например, миллион, или тьма, выглядели следующим образом.

million.gif

Вот некоторые числа записанные в славянской системе счисления

Данная система является непозиционной, т.е. число не зависит от последовательности цифр.

Деление в различных системахсчисления

Деление в любойпозиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и делениеуглом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особеннопросто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

4.11. Как представляются в компьютере целые числа?

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 000000002 до 111111112 , а в двубайтовом формате — от 00000000 000000002 до 11111111 111111112.

Диапазоны значений целых чисел без знака

Формат числа в байтах Диапазон
Запись с порядком Обычная запись
1 0 … 28–1 0 … 255
2 0 … 216–1 0 … 65535

Примеры:

а) число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате:

0048.gif

б) это же число в двубайтовом формате:

0049.gif

в) число 65535 в двубайтовом формате:

0050.gif

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Формат числа в байтах Диапазон
Запись с порядком Обычная запись
1 –27 … 27–1 –128 … 127
2 –215 … 215–1 –32768 … 32767
4 –231 … 231–1 –2147483648 … 2147483647

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины – семь разрядов.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:

0051.gif

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например:

0052.gif

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например:

0053.gif

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:

0054.gif

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.
Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...